Stieltjeskonstanter

Inom matematiken är Stieltjeskonstanterna γ n {\displaystyle \gamma _{n}} en serie konstanter som förekommer i Laurentexpansionen av Riemanns zetafunktion:

ζ ( s ) = 1 s − 1 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! γ n ( s − 1 ) n . {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}.}

Den nollte konstanten γ 0 = γ = 0.577 … {\displaystyle \gamma _{0}=\gamma =0.577\dots } är känd som Eulers konstant.

Representationer

Stieltjeskonstanterna ges av ett gränsvärde

γ n = lim m → ∞ ( ( ∑ k = 1 m ( ln ⁡ k ) n k ) − ( ln ⁡ m ) n + 1 n + 1 ) . {\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}.}

(Fallet n = 0 kräver att den första summanden erfordrar evalveringen 00, vilket antas vara 1.)

Cauchys differentialformel leder till integralrepresentationen

γ n = ( − 1 ) n n ! 2 π ∫ 0 2 π e − n i x ζ ( e i x + 1 ) d x . {\displaystyle \gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)dx.}

Numeriska värden

De första värdena är

n Ungefärligt värde av γn OEIS
0 +0,5772156649015328606065120900824024310421593359 A001620
1 −0,0728158454836767248605863758749013191377363383 A082633
2 −0,0096903631928723184845303860352125293590658061 A086279
3 +0,0020538344203033458661600465427533842857158044 A086280
4 +0,0023253700654673000574681701775260680009044694 A086281
5 +0,0007933238173010627017533348774444448307315394 A086282
6 −0,0002387693454301996098724218419080042777837151 A183141
7 −0,0005272895670577510460740975054788582819962534 A183167
8 −0,0003521233538030395096020521650012087417291805 A183206
9 −0,0000343947744180880481779146237982273906207895 A184853
10 +0,0002053328149090647946837222892370653029598537 A184854
100 −4,2534015717080269623144385197278358247028931053 × 1017
1000 −1,5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10486
10000 −2,2104970567221060862971082857536501900234397174 × 106883
100000 +1,9919273063125410956582272431568589205211659777 × 1083432

För stora n så ökar Stieltjeskonstanterna snabbt i absoluta värden och ändrar tecken i ett komplext mönster.

Över 10000 siffror i decimalutvecklingarna, för numeriska värden av Stieltjeskonstanter upp till n = 100000, har beräknats av Johansson. De numeriska värdena kan hämtas från LMFDB [1].

Asymptotisk ökning

Stieltjeskonstanter uppfyller

| γ n | < 4 ( n − 1 ) ! π n , {\displaystyle |\gamma _{n}|<{\frac {4(n-1)!}{{\pi }^{n},}}}

vilket bevisades av Berndt. En mycket tätare gräns, giltig för n ≥ 10 {\displaystyle n\geq 10} , gavs av Matsuoka:

| γ n | < 0.0001 e n log ⁡ log ⁡ n {\displaystyle |\gamma _{n}|<0.0001e^{n\log \log n}}

Knessl och Coffey gav en formel som efterliknar Stieltjeskonstanter exakt för stora n. Om v är den unika lösningen av

2 π exp ⁡ ( v tan ⁡ v ) = n cos ⁡ ( v ) v {\displaystyle 2\pi \exp(v\tan v)=n{\frac {\cos(v)}{v}}}

med 0 < v < π / 2 {\displaystyle 0<v<\pi /2} , och om u = v tan ⁡ v {\displaystyle u=v\tan v} , så är

γ n ∼ B n e n A cos ⁡ ( a n + b ) {\displaystyle \gamma _{n}\sim {\frac {B}{\sqrt {n}}}e^{nA}\cos(an+b)}

där

A = 1 2 log ⁡ ( u 2 + v 2 ) − u u 2 + v 2 {\displaystyle A={\frac {1}{2}}\log(u^{2}+v^{2})-{\frac {u}{u^{2}+v^{2}}}}
B = 2 2 π u 2 + v 2 [ ( u + 1 ) 2 + v 2 ] 1 / 4 {\displaystyle B={\frac {2{\sqrt {2\pi }}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}{[(u+1)^{2}+v^{2}]^{1/4}}}}
a = tan − 1 ⁡ ( v u ) + v u 2 + v 2 {\displaystyle a=\tan ^{-1}\left({\frac {v}{u}}\right)+{\frac {v}{u^{2}+v^{2}}}}
b = tan − 1 ⁡ ( v u ) − 1 2 ( v u + 1 ) . {\displaystyle b=\tan ^{-1}\left({\frac {v}{u}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{u+1}}\right).}

Upp till n = 10 5 {\displaystyle n=10^{5}} förmodar Knessl–Coffey approximation med korrekt tecken, med det enda undantaget för n = 137 {\displaystyle n=137} .

Generaliserade Stieltjeskonstanter

Mer generellt kan man definiera Stieltjeskonstanter γ k ( a ) {\displaystyle \gamma _{k}(a)} som förekommer i Laurentserien som utvidgning av Hurwitzs zeta-funktion:

ζ ( s , a ) = 1 s − 1 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! γ n ( a ) ( s − 1 ) n . {\displaystyle \zeta (s,a)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(a)\;(s-1)^{n}.}

Låt a vara ett komplext tal med Re(a) > 0. Eftersom Hurwitzs zeta-funktion är en generalisering av Riemanns zeta-funktion har vi

γ n ( 1 ) = γ n . {\displaystyle \gamma _{n}(1)=\gamma _{n}.\;}

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Stieltjes constants, 17 januari 2014.

Källor

  • Weisstein, Eric W., "Stieltjes Constants", MathWorld. (engelska)
  • Plouffe, Simon. ”Stieltjes Constants, from 0 to 78, 256 digits each”. http://www.plouffe.fr/simon/constants/stieltjesgamma.txt. 
  • Kreminski, Rick (2003). ”Newton-Cotes integration for approximating Stieltjes generalized Euler constants”. Mathematics of Computation 72 (243): sid. 1379–1397. doi:10.1090/S0025-5718-02-01483-7. 
  • Coffey, Mark W. (2009). ”Series representations for the Stieltjes constants”. https://arxiv.org/abs/0905.1111. 
  • Coffey, Mark W. (2010). ”Addison-type series representation for the Stieltjes constants”. J. Number Theory 130: sid. 2049–2064. doi:10.1016/j.jnt.2010.01.003. 
  • Knessl, Charles; Coffey, Mark W. (2011). ”An effective asymptotic formula for the Stieltjes constants”. Math. Comp. 80 (273): sid. 379–386. doi:10.1090/S0025-5718-2010-02390-7. 
  • Johansson, Fredrik (2013). ”Rigorous high-precision computation of the Hurwitz zeta function and its derivatives”. https://arxiv.org/abs/1309.2877.