Relație de echivalență

O relație de echivalență este o relație binară ${\displaystyle \equiv }$ pe o mulțime A, relație ce îndeplinește următoarele proprietăți:

1. Reflexivitate: ${\displaystyle \forall x\in A\,,\ x\equiv x.}$.
2. Simetrie: ${\displaystyle x\equiv y\implies y\equiv x.}$
3. Tranzitivitate: (${\displaystyle x\equiv y}$ și ${\displaystyle y\equiv z)\implies x\equiv z.}$

O relație de echivalență partiționează mulțimea A pe care este definită în clase de echivalență: două elemente ${\displaystyle x,y\in A}$ sunt în aceeași clasă de echivalență dacă și numai dacă ${\displaystyle x\equiv y}$. Clasele de echivalență constituie o familie de submulțimi nevide disjuncte două câte două a căror reuniune este mulțimea A. Familia claselor de echivalență se numește mulțimea cât a mulțimii inițiale în raport cu relația de echivalență considerată, și se notează ${\displaystyle A/\!\equiv }$.

Exemple

• Congruența modulo n induce relația de echivalență pe mulțimea numerelor întregi ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ următoare:

${\displaystyle x\equiv y\iff x=y\mod n,}$

adică dacă ${\displaystyle x-y}$ are rest 0 la împărțirea cu n. Mulțimea cât se notează de obicei cu ${\displaystyle \mathbb {Z} /{n\mathbb {Z} }}$

${\displaystyle \mathbb {Z} /{n\mathbb {Z} }={\big \{}[0],[1],\ldots ,[n-1]{\big \}},}$

unde clasa de echivalență [k] este mulțimea

${\displaystyle [k]=\{\ldots ,k-2n,\,k-n,\,k,\,k+n,\,k+2n,\ldots \}.}$

• Dacă G este un graf, relația de adiacență ${\displaystyle \sim }$ definită prin ${\displaystyle v\sim u\iff }$ „există o muchie între ${\displaystyle v}$ și ${\displaystyle u}$” este o relație de echivalență.
• Relația ${\displaystyle \rho }$ definită pe mulțimea numerelor complexe ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } }$ prin ${\displaystyle z_{1}\;\rho \;z_{2}\iff |z_{1}|=|z_{2}|}$ este o relație de echivalență. În planul complex, clasele de echivalență ale acestei relație sunt cercuri cu centrul în origine: clasa de echivalență lui z este cercul ${\displaystyle C(0,|z|)=\{w\in \mathbb {C} :w=|z|e^{i\pi \theta },\theta \in \mathbb {R} \}}$.
• Relația de congruența geometrică este o relație de echivalență pe mulțimea tuturor figurilor geometrice.

Vezi și

• Produs cartezian