Funkcje Kelvina – funkcje powiązane z funkcjami Bessela zespolonego argumentu. Oznaczane są symbolami:
gdzie jest zmienną zespoloną, a rzeczywisty parametr rzędem funkcji.
Definicje
Ber(x) for x between 0 and 10. for between 0 and 100.Bei(x) for between 0 and 10. for between 0 and 100.Ker(x) for between 0 and 10. for x between 0 and 100.Kei(x) for between 0 and 10. for between 0 and 100.
ber(x), bei(x)
Funkcje oraz są odpowiednio częścią rzeczywistą i zespoloną funkcji Bessela rzędu rzeczywistego o argumencie zespolonym pomnożonym przez stała matematyczną e podniesioną do potęgi gdzie jest jednostką urojoną:
Alternatywną definicją jest:
gdzie jest zmodyfikowaną funkcją Bessela pierwszego rodzaju rzędu rzeczywistego.
ker(x), kei(x)
Funkcje oraz są odpowiednio częścią rzeczywistą i zespoloną podzielonej przez zmodyfikowanej funkcji Bessela drugiego rodzaju rzędu rzeczywistego o argumencie zespolonym pomnożonym przez
her(x), hei(x)
Funkcje oraz są odpowiednio częścią rzeczywistą i zespoloną funkcji Hankela I rodzaju rzędu rzeczywistego o argumencie zespolonym pomnożonym przez
Funkcje rzędu zerowego
W zapisie rząd zerowy funkcji Kelvina opuszcza się, tj. mamy:
Własności
Funkcje Kelvina są rzeczywiste dla rzeczywistych wartości argumentu W punkcie przestrzeni zespolonej funkcje Kelvina posiadają punkt rozgałęzienia z wyjątkiem funkcji oraz rzędu rzeczywistego całkowitego.
Między funkcjami Kelvina zachodzą związki:
Funkcje spełniają równanie różniczkowe:
Natomiast funkcje spełniają równanie różniczkowe:
Rozwinięcia
Dla funkcji o rzędzie całkowitym różnym od zera istnieje następujące rozwinięcie w szereg:
gdzie Γ(z) jest funkcją gamma.
W przypadku funkcji rzędu zerowego istnieje następujące rozwinięcie w szereg:
tj.:
Dla funkcji o rzędzie całkowitym różnym od zera istnieje następujące rozwinięcie w szereg:
gdzie Γ(z) jest funkcją gamma.
W przypadku funkcji rzędu zerowego istnieje następujące rozwinięcie w szereg:
tj.
Bibliografia
Watson: A Traetise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, Cambridge.
Olver F.W., Maximin L.C.: Bessel Functions.
Lozier D.M., et al.: NIST Hanbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, Cambridge.