Voetpuntskromme

In de meetkunde is de voetpuntskromme van een vlakke kromme ${\displaystyle C}$ ten opzichte van een vast punt ${\displaystyle P}$, de meetkundige plaats van punten ${\displaystyle X}$ waarvoor geldt dat het lijnstuk ${\displaystyle PX}$ loodrecht is ten opzichte van een raaklijn ${\displaystyle T}$ aan ${\displaystyle C}$ die door ${\displaystyle X}$ gaat.

Anders gezegd: Als ${\displaystyle T}$ een raaklijn aan de kromme ${\displaystyle C}$ is, dan is er een uniek punt ${\displaystyle X}$ op ${\displaystyle T}$ waarin ${\displaystyle PX}$ loodrecht staat op ${\displaystyle T}$. Dat punt is een voetpunt en de kromme die bestaat uit alle voetpunten is de voetpuntskromme.

Wanneer een kromme ${\displaystyle K}$ de voetpuntskromme is van een kromme ${\displaystyle C}$, dan is ${\displaystyle C}$ de negatieve voetpuntskromme van ${\displaystyle K}$.

Voorbeelden

Enkele voorbeelden van krommen met hun voetpuntskrommen:

• van een lijn, voor een willekeurig punt, bestaat uit een enkel voetpunt, namelijk het snijpunt van de loodlijn uit dat punt op de lijn.
• van een cirkel met als vast punt
  • het middelpunt van de cirkel, is die cirkel zelf,
  • een punt in de cirkel maar niet het middelpunt, is een limaçon en
  • een punt op de cirkelomtrek is een cardioïde,
• van een ellips met als vast punt een brandpunt is een cirkel,
• van een hyperbool met als vast punt
  • een brandpunt is een cirkel,
  • het middelpunt is een lemniscaat van Bernoulli,
• van een parabool met als vast punt
  • het brandpunt is een lijn en
  • de top van de parabool is een cissoïde van Diocles.

Websites

• MathWorld. Pedal Curve.