Hoofdstelling van de riemann-meetkunde

In de riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, stelt de hoofdstelling van de riemann-meetkunde, dat er op enige riemann-variëteit (of pseudo-riemann-variëteit) een unieke torsie-vrije metrische verbinding bestaat, die de levi-civita-verbinding van de gegeven metriek wordt genoemd. Hier is een metrische (of riemann-)verbinding, een verbinding die de metrische tensor bewaart.

Preciezer:

Laat ${\displaystyle (M,g)}$ een riemann-variëteit (of pseudo-riemann-variëteit) zijn, dan is er een unieke verbinding ${\displaystyle \nabla }$, die aan de volgende voorwaarden voldoet:

1. voor enige vectorvelden ${\displaystyle X,Y,Z}$ hebben wij ${\displaystyle \partial _{X}\langle Y,Z\rangle =\langle \nabla _{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\nabla _{X}Z\rangle }$, waar ${\displaystyle \partial _{X}\langle Y,Z\rangle }$ de afgeleide van de functie ${\displaystyle \langle Y,Z\rangle }$ aanduidt langs vectorveld ${\displaystyle X}$.
2. voor enige vectorvelden ${\displaystyle X,Y}$, ${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$, waar ${\displaystyle [X,Y]}$ de lie-haken voor vectorvelden ${\displaystyle X,Y}$ aanduiden.

(De eerste voorwaarde houdt in dat de metrische tensor wordt bewaard door parallel transport, terwijl de tweede voorwaarde het feit uitdrukt dat de torsie van ${\displaystyle \nabla }$ nul is.)

Een uitbreiding van de hoofdstelling stelt dat er, gegeven een pseudo-riemann-variëteit, een unieke verbinding bestaat, die de metrische tensor bewaart met enige gegeven vectorwaardige 2-vorm als haar torsie.

Een technisch bewijs kan een formule voor christoffel-symbolen van de verbinding in een lokaal coördinatensysteem presenteren. Voor een gegeven metriek kan deze verzameling van vergelijkingen nogal ingewikkeld worden. Er bestaan snellere en eenvoudigere methoden om de christoffel-symbolen voor een bepaalde metriek te verkrijgen, bijvoorbeeld het gebruiken van de actie integraal en de geassocieerde euler-lagrange-vergelijkingen.

Zie ook

• Inbeddingstelling van Nash