De Gell-Mann-matrices zijn acht lineair onafhankelijke hermitische 3×3-matrices met spoor 0 die een mogelijke representatie van de infinitesimale generatoren van de speciale unitaire groep
vormen. Zij zijn genoemd naar de Amerikaanse natuurkundige Murray Gell-Mann en worden gebruikt in de studie van de sterke wisselwerking in de deeltjesfysica en het quarkmodel en, in mindere mate, in de kwantumchromodynamica.
Definitie
De Gell-Mann-matrices
zijn de acht 3×3-matrices:
| | |
| | |
| | |
Deze matrices hebben een spoor gelijk aan 0 en zijn hermitisch en onderling orthogonaal met betrekking tot het (gewone) frobenius-inproduct:
![{\displaystyle \langle \lambda _{i},\lambda _{j}\rangle _{F}=\sum _{p.q}{\bar {\lambda }}_{ipq}\lambda _{jpq}=\operatorname {sp} (\lambda _{i}\lambda _{j})=2\delta _{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ab3da99fe5337a228ef2517cf0b2c6205e8ff7)
Deze eigenschappen werden gekozen door Gell-Mann, omdat zij dan de eigenschappen van de pauli-matrices generaliseren.
De groep
is een reële lie-algebra van dimensie acht, en de Gell-Mann-matrices vormen een representatie daarvan en zijn lineair onafhankelijke generatoren, die voldoen aan de commutatierelaties
![{\displaystyle [\lambda _{p},\lambda _{q}]=2i\sum _{k}f^{pqk}\lambda _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0caa439543f0a8ade4ee4d6a52184ed07124577)
De structuurconstanten
zijn volledig antisymmetrisch in de drie indices en hebben dus als gevolg van de jacobi-identiteit de waarde 0, tenzij er een oneven aantal indices uit de getallen 2, 5 en 7 komt. In die gevallen zijn de waarden:
![{\displaystyle f^{123}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7cd588c73aee771281ce429aafd7fdf7b961536)
![{\displaystyle f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}={\tfrac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ec4b9ce995927e7e0dcfe817fa4c13ae31d273)
![{\displaystyle f^{458}=f^{678}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7919e45963785d15d2c5867628ef57ccfcf8f0a)
In deze voorstelling vormen de lineaire combinaties (met reële coëfficiënten) van de twee matrices
en
, die met elkaar commuteren, de cartan-deelalgebra. Er zijn 3 onafhankelijke
deelgroepen:
en
, waarin
en
lineaire combinaties van
en
zijn.
Zie ook
Referenties
- (en) Lie algebra's in particle physics, door Howard Georgi (ISBN 0-7382-0233-9)