ディラック方程式(ディラックほうていしき、英: Dirac equation)は、フェルミ粒子を記述するディラック場が従う基礎方程式である。ポール・ディラックにより相対論的量子力学として導入され、場の量子論に受け継がれている。
歴史
非相対論的なシュレーディンガー方程式を、相対論へ対応するための拡張として、最初クライン-ゴルドン方程式が考案された。これは負のエネルギー解と負の確率密度の問題が生じた(この問題は、その後の場の量子論においては回避される)。また、クライン-ゴルドン方程式にはスピンが出てこない問題もあった(これはクライン-ゴルドン方程式に従うスカラー場がスピンを持たない粒子を記述する為である)。
ポール・ディラックは1928年にディラック方程式を基礎方程式とする(特殊)相対論的量子力学を見出した。ディラック方程式からは負の確率密度は生じず、スピンの概念が自然に現れる。
しかしディラック方程式からは、自然界には存在しないような負のエネルギーの状態が現れるという問題があった。オスカル・クラインは、ある種の強いポテンシャルのもとで正エネルギーの電子が負エネルギー状態へ遷移しうることを示して、理論から負エネルギー状態を完全に排除することが困難であることを指摘した。
1930年にディラックは「真空とは、負エネルギーの電子が完全に満たされた状態である」とするディラックの海の概念(空孔理論、hole theory)を考案した。ディラックの海では負エネルギーの電子が取り除かれた「空孔」が生じることがあるが、ディラックは当初この空孔による粒子を陽子であると考えた。後に空孔は陽電子であることが指摘された(ヘルマン・ワイル、ロバート・オッペンハイマーによる)。ディラックの海の空孔は正のエネルギーを持ち、反粒子に対応する。光による電子と陽電子の生成は、真空中の負エネルギー電子が光を吸収して正エネルギー状態へ遷移し、あとに空孔を残す現象として説明される。1932年のデヴィッド・アンダーソンによる陽電子の発見により、ディラックの海は現実の現象を説明する優れた理論とされた。
その後、リチャード・P・ファインマン等により拡張、解釈の見直しが図られた(相対論的な場の量子論)。その結果、ディラックの海を考えなくとも、電子と陽電子を対称に扱うことができるようになった。
ディラック方程式
ディラック方程式は
とする自然単位系では
と表される。ψ は4成分スピノルの場(ディラック場)である。
m は ψ の質量である。μ=0,1,2,3 についてはアインシュタインの縮約記法を用いる。微分
は
である。
はガンマ行列(ディラック行列)と呼ばれる 4×4行列で
を満たす。
はミンコフスキー空間の計量テンソルである。ディラック方程式は3次元的に書けば
となる。移項して左から
を掛ければ
と表すことができる。 ただし
である。ここで
はディラックのハミルトニアンと呼ばれる。
ディラックの着想
相対論的な量子力学の基礎方程式として考案されたクライン-ゴルドン方程式
は、時間について2階の微分方程式であることから負の確率密度を生じ、確率解釈が困難となる問題を抱えていた。これを時間について1階の微分方程式
に帰着させるべく、ディラックは空間成分についての2階微分を1階微分に分解した関係式
を満たすように4つの係数 α=(α1, α2, α3)、β を与えることを考えた。このとき、αi(i=1,2,3)、βに要求される代数関係は
となるが、こうした性質を満たすには係数は行列でなくてはならない。
ローレンツ共変性
ディラック方程式は相対論的な方程式であり、ローレンツ共変性を持つ。
即ち、ローレンツ変換
![{\displaystyle x^{\mu }\rightarrow x'^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }x^{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/076fd4e19f4dd3ce2f16312028521121f632771f)
![{\displaystyle \psi _{a}(x)\rightarrow \psi '_{a}(x)=[D(\Lambda )]_{a}{}^{b}\,\psi _{b}(\Lambda ^{-1}x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84149a3e1c2e426f7aa9001b4803e2098013ad0)
(μ,ν=0,1,2,3は時空の4成分、a, b = 1,2,3,4 はスピノルの4成分)に対して、
![{\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi '(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aef5d37a6b80d6539b872614c658135cb3005b1)
となる。ディラックスピノルの変換性をあらわす4×4行列 D(Λ) は
![{\displaystyle [D(\Lambda )]_{a}{}^{c}\,[\gamma ^{\mu }]_{c}{}^{d}\,[D(\Lambda )^{-1}]_{d}{}^{b}=(\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\nu }[\gamma ^{\nu }]_{a}{}^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/995354fac471dbfed5b3bc6ddf98193a5125dd7c)
によって定まる。
ワイル表示においては行列式 1 の2×2行列 M を用いて
![{\displaystyle D(\Lambda )={\begin{pmatrix}M&\mathbf {0} \\\mathbf {0} &(M^{\dagger })^{-1}\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f3fd907cc781d5e5137d4642877dbfbbfd2138)
![{\displaystyle M\sigma ^{\mu }M^{\dagger }=(\Lambda ^{-1})^{\mu }{}_{\nu }\sigma ^{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e028e1bffc2aafcc94eec99b86b7aad89f89d78)
と書くことができる。例えば、z-方向のブーストの場合は
![{\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }={\begin{pmatrix}\cosh \beta &0&0&\sinh \beta \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh \beta &0&0&\cosh \beta \\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b7d0587465709ab5a75e304e26354c778b92f7)
![{\displaystyle M={\begin{pmatrix}e^{-\beta /2}&0\\0&e^{\beta /2}\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f931b0114c0aa791f61799e8592d47e3ba6caf80)
となる。
参考文献
- 原論文
- P.A.M. Dirac (1928). “The Quantum Theory of the Electron”. Proc. R. Soc. A 117 (778): 610-624. doi:10.1098/rspa.1928.0023. http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/117/778/610.
関連項目
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