グレイシャー・キンケリンの定数

数学において、グレイシャー・キンケリンの定数(Glaisher–Kinkelin constant)、またはグレイシャーの定数は、K関数やバーンズのG関数に関連する数学定数であり、通常Aとかかれる。この定数は特にガンマ関数や、リーマンゼータ関数などに関係する多くの和や積分に出現する。なお、この定数の名前の由来は数学者であるジェームズ・ウィットブレッドリー・グレーシャー（英語版）とヘルマン・キンケリン（英語版）である。

グレイシャー・キンケリンの定数の近似値は次の通りである。

A ≈ 1.2824271291 … {\displaystyle A\approx 1.2824271291\dots }   オンライン整数列大辞典の数列 A074962.

定義

グレイシャー・キンケリンの定数 A {\displaystyle A} は、

A = lim n → ∞ K ( n + 1 ) n n 2 / 2 + n / 2 + 1 / 12 e − n 2 / 4 {\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}}

の極限である。ここで、 K ( n ) = ∏ k = 1 n − 1 k k {\displaystyle K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k}} はK関数である。この式をよく見ると、これはスターリングの近似との類似性が見つかる。

2 π = lim n → ∞ n ! e − n n n + 1 2 {\displaystyle {\sqrt {2\pi }}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{e^{-n}n^{n+{\frac {1}{2}}}}}}

πは階乗 ∏ k = 1 n k {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}k} 、Aは階乗の類似物であるK関数 K ( n ) = ∏ k = 1 n k k {\displaystyle K(n)=\prod _{k=1}^{n}k^{k}} により表されている。

バーンズのG関数、 G ( n ) = ∏ k = 1 n − 2 k ! = [ Γ ( n ) ] n − 1 K ( n ) {\displaystyle G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K(n)}}} (ここで Γ ( n ) {\displaystyle \Gamma (n)} はガンマ関数)を用いた、以下のような式もある。

A = lim n → ∞ ( 2 π ) n / 2 n n 2 / 2 − 1 / 12 e − 3 n 2 / 4 + 1 / 12 G ( n + 1 ) {\displaystyle A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {(2\pi )^{n/2}n^{n^{2}/2-1/12}e^{-3n^{2}/4+1/12}}{G(n+1)}}} .

グレーシャー・キンケリン定数はリーマンゼータ関数の微分の特定の値の評価に現れる。

ζ ′ ( − 1 ) = 1 12 − ln ⁡ A {\displaystyle \zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{12}}-\ln A}
∑ k = 2 ∞ ln ⁡ k k 2 = − ζ ′ ( 2 ) = π 2 6 [ 12 ln ⁡ A − γ − ln ⁡ ( 2 π ) ] {\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2}}}=-\zeta ^{\prime }(2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}\left[12\ln A-\gamma -\ln(2\pi )\right]}

ここで、 γ {\displaystyle \gamma } はオイラーの定数である。後の式は、グレーシャーにより見つけられた以下の無限積を与える。

∏ k = 1 ∞ k 1 k 2 = ( A 12 2 π e γ ) π 2 6 . {\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }k^{\frac {1}{k^{2}}}=\left({\frac {A^{12}}{2\pi e^{\gamma }}}\right)^{\frac {\pi ^{2}}{6}}.}

以下は、この定数を含むいくつかの積分である。

∫ 0 1 / 2 ln ⁡ Γ ( x ) d x = 3 2 ln ⁡ A + 5 24 ln ⁡ 2 + 1 4 ln ⁡ π {\displaystyle \int _{0}^{1/2}\ln \Gamma (x)dx={\frac {3}{2}}\ln A+{\frac {5}{24}}\ln 2+{\frac {1}{4}}\ln \pi }
∫ 0 ∞ x ln ⁡ x e 2 π x − 1 d x = 1 2 ζ ′ ( − 1 ) = 1 24 − 1 2 ln ⁡ A {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}dx={\frac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{2}}\ln A}

この定数の級数表現は、ヘルムート・ハッセにより与えられた、リーマンゼータ関数のための級数から生じる。

ln ⁡ A = 1 8 − 1 2 ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( k + 1 ) 2 ln ⁡ ( k + 1 ) {\displaystyle \ln A={\frac {1}{8}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}\left(k+1\right)^{2}\ln(k+1)}

参考文献

  • Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2005). "Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent". arXiv:math.NT/0506319。
  • Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008). “Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent”. Ramanujan Journal 16 (3): 247–270. doi:10.1007/s11139-007-9102-0.  (Provides a variety of relationships.)
  • Weisstein, Eric W. "Glaisher–Kinkelin Constant". mathworld.wolfram.com (英語).
  • Weisstein, Eric W. "Riemann Zeta Function". mathworld.wolfram.com (英語).

関連項目

外部リンク

  • The Glaisher–Kinkelin constant to 20,000 decimal places