Matrice compagna

In algebra lineare, la matrice compagna del polinomio monico di grado n:

${\displaystyle P(X)=c_{0}+c_{1}X+\dots +c_{n-1}X^{n-1}+X^{n}}$

è la matrice quadrata di ordine n avente ${\displaystyle 1}$ sulla prima sovradiagonale e i coefficienti di ${\displaystyle P}$, cambiati di segno, sull'ultima riga:

${\displaystyle C_{P}={\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &1&\ddots &\vdots \\\vdots &&\ddots &\ddots &0\\[1ex]0&\cdots &\cdots &0&1\\[1ex]-c_{0}&-c_{1}&\cdots &\cdots &-c_{n-1}\end{pmatrix}}}$

Alcuni autori chiamano matrice compagna la matrice trasposta della precedente, ovvero la matrice con ${\displaystyle 1}$ sulla prima sottodiagonale e i coefficienti di ${\displaystyle P}$, cambiati di segno, sull'ultima colonna:

${\displaystyle C_{P}^{t}={\begin{pmatrix}0&\cdots &\cdots &0&-c_{0}\\1&\ddots &&\vdots &-c_{1}\\0&1&\ddots &\vdots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0&\vdots \\[1ex]0&\cdots &0&1&-c_{n-1}\end{pmatrix}}}$

• La matrice compagna di ${\displaystyle P}$ ha polinomio caratteristico e polinomio minimo uguali a ${\displaystyle P}$; i suoi autovalori sono le radici di ${\displaystyle P}$.
• Per ogni radice ${\displaystyle \alpha }$ di ${\displaystyle P}$, il vettore ${\displaystyle (1,\alpha ,\alpha ^{2},\dots ,\alpha ^{n-1})^{t}}$ è un autovettore di ${\displaystyle C_{P}}$ con autovalore ${\displaystyle \alpha }$. In particolare, se tutte le radici di ${\displaystyle P}$ sono distinte allora ${\displaystyle C_{P}}$ è diagonalizzabile tramite una matrice di Vandermonde.
• Per ogni campo ${\displaystyle k}$ la matrice ${\displaystyle C_{P}}$ esprime la moltiplicazione per ${\displaystyle X}$ sull'anello ${\displaystyle k(X)/P(X)}$, espresso come spazio vettoriale su ${\displaystyle k}$ con la base ${\displaystyle \{1,X,X^{2},\dots ,X^{n-1}\}}$. In particolare, se ${\displaystyle P}$ è irriducibile su ${\displaystyle k}$ e ${\displaystyle \alpha }$ è una sua radice, ${\displaystyle C_{P}}$ esprime la moltiplicazione per ${\displaystyle \alpha }$ sul campo ${\displaystyle k(\alpha )}$.
• Se ${\displaystyle A}$ è una matrice ${\displaystyle n\times n}$ su un campo ${\displaystyle K}$, sono equivalenti gli enunciati:
  • ${\displaystyle A}$ è simile alla matrice compagna su ${\displaystyle k}$ del proprio polinomio caratteristico;
  • il polinomio caratteristico di ${\displaystyle A}$ è uguale al suo polinomio minimo;
  • esiste un vettore ${\displaystyle v\in K^{n}}$ tale che ${\displaystyle \{v,Av,A^{2}v,\dots ,A^{n-1}v\}}$ è una base di ${\displaystyle K^{n}}$.

Non tutte le matrici quadrate sono simili ad una matrice compagna, ma tutte sono simili ad una matrice diagonale a blocchi di matrici compagne; queste ultime possono essere scelte in modo che i loro polinomi si dividano successivamente, quindi che siano univocamente determinate. Questa scrittura è la forma canonica razionale di ${\displaystyle A}$.

• (EN) Roger A. Horn e Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge, UK, Cambridge University Press, 1985, pp. 146–147, ISBN 0-521-30586-1. URL consultato il 10 febbraio 2010.
• (EN) Richard E. Bellman, Richard (1987), Introduction to Matrix Analysis, SIAM, ISBN 0898713994 .

• Polinomio
• Polinomio caratteristico
• Polinomio minimo

• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice compagna, su MathWorld, Wolfram Research.

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