Funzione G di Barnes

In matematica, la funzione G di Barnes è una funzione speciale intera che costituisce una estensione a un dominio complesso della successione dei superfattoriali ed è collegata alla funzione Gamma e alla funzione K. Il suo nome ricorda il matematico inglese Ernest William Barnes (1874-1953) e solitamente viene denotata con ${\displaystyle G(z)}$.

Una possibile definizione della funzione ${\displaystyle G}$ di Barnes si serve del prodotto di Weierstrass:

${\displaystyle G(z+1):=(2\pi )^{\frac {z}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}[z(z+1)+\gamma z^{2}]}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}e^{-z+{\frac {z^{2}}{2n}}}\right]}$

dove ${\displaystyle \gamma }$ denota la costante di Eulero-Mascheroni.

La ${\displaystyle G(z)}$ soddisfa l'equazione funzionale

${\displaystyle G(z+1)=\Gamma (z)G(z)}$

combinata con la condizione di normalizzazione ${\displaystyle G(1)=1}$. Questa equazione implica che la ${\displaystyle G}$ per argomenti interi assuma i seguenti valori:

${\displaystyle G(n)={\begin{cases}0&{\text{se }}n=0,-1,-2,\dots \\\prod _{k=0}^{n-2}k!&{\text{se }}n=1,2,\dots \end{cases}}}$

e di conseguenza sia esprimibile come

${\displaystyle G(n)={\frac {[\Gamma (n)]^{n-1}}{K(n)}},}$

qui, insieme alla funzione Gamma, compare la funzione K, per la quale si ha:

${\displaystyle K(n)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}.}$

Per ${\displaystyle |z|<1}$ si ha il seguente sviluppo di Taylor

${\displaystyle \ln G(1+z)={\frac {1}{2}}\left(\ln(2\pi )-1\right)-(1-\gamma ){\frac {z^{2}}{2}}+\sum _{n=3}^{\infty }(-1)^{n-1}\zeta (n-1){\frac {z^{n}}{n}}}$ ,

dove ${\displaystyle \zeta (s)}$ denota la funzione zeta di Riemann.

Per la ${\displaystyle G(x)}$ si trovano i seguenti valori particolari:

${\displaystyle G(1/4)=A^{-9/8}\left(\Gamma (1/4)\right)^{-3/4}e^{3/32-K/(4\pi )};}$

${\displaystyle G(3/4)=A^{-9/8}\left(\Gamma (3/4)\right)^{-1/4}e^{3/32+K/(4\pi )};}$

${\displaystyle G(1/2)\,=\,A^{-3/2}\pi ^{-1/4}e^{1/8}2^{1/24};}$

${\displaystyle G(3/2)\,=\,A^{-3/2}\pi ^{1/4}e^{1/8}2^{1/24};}$

${\displaystyle G(5/2)\,=\,A^{-3/2}\pi ^{3/4}e^{1/8}2^{-23/24};}$

qui ${\displaystyle K}$ denota la costante di Catalan, ${\displaystyle A}$ la costante di Glaisher-Kinkelin per la quale

${\displaystyle A:=e^{1/12-\zeta '(-1)}\approx 1,2824262...}$

• (EN) E. W. Barnes, The theory of the double Gamma function, Phil. Trans. Roy. Soc., n. 196 A, 1901, pp. 265-387.

• Fattoriale
• Superfattoriale
• Funzione Gamma
• Funzione K

• Barnes G-function in MathWorld
• Barnes' G-Function (Double Gamma Function) in Digital Library of Mathematical Functions
• Contributions to the theory of the Barnes function Archiviato il 20 settembre 2003 in Internet Archive. di V. S. Adamchik

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