Costante di Eulero-Mascheroni |
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Simbolo | γ |
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Valore | 0,57721566490153286060... (sequenza A001620 dell'OEIS) |
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Origine del nome | Eulero e Lorenzo Mascheroni |
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Frazione continua | [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, ...] (sequenza A002852 dell'OEIS) |
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Campo | numeri reali (congetturato irrazionale) |
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Costanti correlate | Costanti di Stieltjes, Costante di Meissel-Mertens |
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La costante di Eulero-Mascheroni è una costante matematica, usata principalmente nella teoria dei numeri e nell'analisi matematica. È definita come limite della differenza tra la serie armonica troncata e il logaritmo naturale:
![{\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}dx\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(H_{n}-\ln n\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49db216ea7f998617e0084614aab9884a5ca1d39)
dove
è l'ennesimo numero armonico. La sua valutazione approssimata è:
0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...[1]
Non è noto se
sia un numero razionale o meno. Tuttavia, se si suppone che
sia razionale, l'analisi in frazioni continue dimostra che il suo denominatore ha più di 10242080 cifre.[2]
Le costanti di Stieltjes sono una generalizzazione di tale costante.
Rappresentazione integrale
La costante può essere definita in più modi attraverso gli integrali:
![{\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dfbeb7f78ec31260e483c0343ff28b1ea8054b6)
- dove le parentesi
indicano la funzione parte intera (floor)
![{\displaystyle =-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln x\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e47b2de96f0442dab2c6ac3c9f8101a8a6d929)
![{\displaystyle =-\int _{0}^{1}{\ln \ln \left({\frac {1}{x}}\right)}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd782a623d01bca56e2eaa4caa8d708ab9a9a111)
![{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8052681d61457cbcf1049d7e3179a5fe19b8bd)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/452d9d8bc388bd6a4952465585de1666de8e7726)
![{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{{\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{1+x}}-e^{-x}\right)}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98b02b16e4a73502889226a042070950ae90d3cf)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9c0f247496d8285c64a23d6e49a4072686774e3)
Altri integrali collegati con
sono:
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx=-{\frac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb94e966f8ddc4d4733fe65ca3ed135ce3f4696)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x}(\ln x)^{2}}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48dda3d527475d285cb4eb39d1642ae9ffe77ac1)
Sviluppo in serie
La Costante di Eulero-Mascheroni si può esprimere tramite molte serie:
![{\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/602d1bd7a4ff09eb8c7c6b0cdc49f3b52f171a06)
![{\displaystyle =\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\zeta (m)}{m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e4f8333305e2c88a2ff80f9cfaf5b5933f7776)
![{\displaystyle =\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m-1}\zeta (m+1)}{2^{m}(m+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dab4ae5e77873a247e803f66ee6b974f3770c1f5)
È notabile la serie trovata da Vacca nel 1910:
![{\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lfloor \log _{2}n\rfloor }{n}}(-1)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fefc3d9de3e1defc3f045d485dcda1a6a0a6a55)
- dove, nuovamente, le parentesi
indicano la funzione parte intera (floor).
Essa si generalizza in
![{\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\log _{b}n}{n}}{\begin{cases}b-1&{\mbox{ se }}b\mid n\\-1&{\mbox{ se }}b\nmid n\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c180d588584b0d0901280dae94ca53ad3b762e7)
per ogni intero
.
Collegamento con le funzioni speciali
La Costante di Eulero-Mascheroni è collegata con molte funzioni speciali come la funzione zeta di Riemann, la funzione gamma e la funzione digamma.
![{\displaystyle \gamma =\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a6acf56ca8eddd7fd6031cd363de13dc989ec8)
![{\displaystyle =-\psi (1)=\lim _{x\to \infty }\left(x-\Gamma \left({\frac {1}{x}}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367101229083794252c167224ade0bf324fb2339)
Presenza in teoria dei numeri
La costante di Eulero-Mascheroni compare spesso in teoria dei numeri, ad esempio collegata ai numeri primi
![{\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\ln n-\sum _{p\leq n}{\frac {\ln p}{p-1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eaa3787735a6bde8b9da37b5ec50923bd1a875d)
![{\displaystyle \gamma =-\lim _{n\to \infty }\left[\ln \ln n+\sum _{p\leq n}\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15e8c5415d40f38dbefa72a3910bec62530f3159)
noto come terzo teorema di Mertens. Nel problema dei divisori di Dirichlet
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff16f5d940543cd96ce59bee5675769e016a1db)
Inoltre,
![{\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0f7424b04ed935ddf87c56b0357509a3e312e73)
dove
e
sono rispettivamente il numero di 1 e di 0 nello sviluppo binario di
(Sondow 2005).
Note
- ^ Il record per il calcolo di γ è di 108 000 000 di decimali (Patrick Demichel e Xavier Gourdon, 1999). V. Histoire des maths
- ^ havil, p. 97.
Bibliografia
- Havil, J., Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.
Voci correlate
Altri progetti
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su costante di Eulero-Mascheroni
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Costante di Eulero-Mascheroni, su MathWorld, Wolfram Research.
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- (EN) costante di Eulero - Mascheroni in MathWorld, su mathworld.wolfram.com.
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