Lánc (komplex analízis)

Hasonló cikkcímek és megnevezések: Lánc (egyértelműsítő lap).

A komplex analízisben és az algebrai topológiában a lánc és a ciklus matematikai objektumok; a lánc a görbe, a ciklus a zárt görbe általánosítása. A komplex analízisben főként integrációhoz használják.

Az algebrai topológiában a lánc és a ciklus a homológiaelmélet speciális esetei. Ezt kiemelendő használják az 1-lánc és az 1-ciklus elnevezéseket is,^[1] mivel itt további általánosításokat is tekintenek, így szó esik p-láncról és p-ciklusról.^[2]

Definíciók

Lánc

Egy ${\displaystyle X:=\mathbb {C} }$-beli lánc, illetve egy ${\displaystyle X}$ Riemann-felületen levő lánc formálisan értelmezve görbék egész számokkal vett lineáris kombinációja:

${\displaystyle \Gamma :=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\gamma _{i}\quad n_{i}\in \mathbb {Z} }$

ahol minden ${\displaystyle \gamma _{i}\colon [0,1]\to X}$ folytonos görbe. Az ${\displaystyle X}$ halmaz láncai Abel-csoportot alkotnak az összefűzésre, ez a ${\displaystyle C_{1}(X)}$ csoport.

Integrálás láncon

Legyen ${\displaystyle \omega }$ zárt komplex (1,0)-differenciálforma, ekkor a ${\displaystyle \Gamma }$ láncon vett integrál nem más, mint

${\displaystyle \int _{\Gamma }\omega :=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\int _{\gamma _{i}}\omega .}$

Ha ${\displaystyle X}$ éppen a komplex számsík, akkor az integrál a differenciálformák nélkül is értelmezhető. Ekkor ugyanis ${\displaystyle \omega =f(z)\mathrm {d} z}$ alakban írható, ahol ${\displaystyle f\colon D\subset \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ differenciálható függvény. Ezzel a definíció az

${\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\mathrm {d} z:=\sum _{i=1}^{k}n_{i}\int _{\gamma _{i}}f(z)\mathrm {d} z}$.

alakot ölti.

Ciklus

A ciklus egy olyan lánc, amiben minden ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ komplex szám multiplicitással ugyanannyiszor kezdő- mint végpont.

A definíció felírható a ${\displaystyle \operatorname {Div} (X)}$ divizorcsoporttal. Legyen :${\displaystyle \partial \colon C_{1}(X)\to \operatorname {Div} (X)}$ egy leképezés! Egy ${\displaystyle c\colon [0,1]\to X}$ görbe esetén helyettesíthetünk úgy, hogy ${\displaystyle \partial c=0}$ legyen, ha ${\displaystyle c(0)=c(1)}$. Különben ${\displaystyle \partial c}$ divizor, ami ${\displaystyle c(1)}$-ben a +1, ${\displaystyle c(0)}$-ban a -1 értéket veszi fel, különben nulla. Egy ${\displaystyle \Gamma }$ lánc esetén ${\displaystyle \partial }$ definíció szerint ${\displaystyle \textstyle \partial \Gamma :=\sum _{i=1}^{n}n_{i}\partial \gamma _{i}}$. A ${\displaystyle \partial }$ leképezés magja

${\displaystyle Z_{1}(X):=\operatorname {Kern} (\partial )}$

éppen a ciklusok csoportja.

Körülfordulási szám

A lánc nyoma az egyes görbék képeinek uniója. Azaz,

${\displaystyle \operatorname {Spur} \,\Gamma :=\bigcup _{i=1}^{N}\operatorname {im} \,\gamma _{i}}$.

Ha ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$, akkor ${\displaystyle \Gamma }$ ciklus ${\displaystyle D}$-ben pontosan akkor, ha ${\displaystyle \operatorname {Spur} \,\Gamma \subseteq D}$.

A körülfordulási számot a zárt görbéhez hasonlóan definiáljuk, de a nyomot használjuk, azaz

${\displaystyle \operatorname {ind} _{\Gamma }(z):={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma }{\frac {\mathrm {d} \zeta }{\zeta -z}}\in \mathbb {Z} }$.

A ciklus belseje azoknak a pontoknak a halmaza, ahol a körülfordulási szám nem nulla:

${\displaystyle \operatorname {Int} \,\Gamma :=\{z\in \mathbb {C} \setminus \operatorname {Spur} \,\Gamma :\operatorname {ind} _{\Gamma }(z)\neq 0\}}$

Külseje pedig azokat a pontokat tartalmazza, ahol a körülfordulási szám eltűnik:

${\displaystyle \operatorname {Ext} \,\Gamma :=\{z\in \mathbb {C} \setminus \operatorname {Spur} \,\Gamma :\operatorname {ind} _{\Gamma }(z)=0\}}$

Egy ciklus nullhomológ ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$-ben, ha belseje része ${\displaystyle D}$-nek: ${\displaystyle \operatorname {Int} \,\Gamma \subseteq D}$ Ez pontosan akkor teljesül, ha az összes ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus D}$ pont körülfordulási száma nulla.

Két ciklus, ${\displaystyle \Gamma _{1}}$, ${\displaystyle \Gamma _{2}}$ homológ ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$-ben, ha formális különbségük, ${\displaystyle \Gamma _{1}-\Gamma _{2}}$ nullhomológ ${\displaystyle D}$-ben.

Integráltételek

A láncok és ciklusok jelentőségét a komplex analízisben a görbe menti integrál általánosítása adja. A ciklusokra is bizonyítható a reziduumtétel, a Cauchy-féle integráltétel és a Cauchy-integrálképlet.

A Stokes-tétel is igazolható. Legyen ${\displaystyle \Gamma }$ lánc ${\displaystyle X}$-ben, legyen ${\displaystyle \Gamma }$ minden ${\displaystyle \gamma _{i}}$ görbéje sima, továbbá legyen ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ is sima. Ekkor a Stokes-tétel szerint

${\displaystyle \int _{\Gamma }\mathrm {d} f(z)\mathrm {d} z=\int _{\partial \Gamma }f(z)\mathrm {d} z}$,

ahol ${\displaystyle \partial }$ az egy-ciklus szeletének lezárásoperátora, és ${\displaystyle \mathrm {d} }$ a derivált.

A második integrál írható

${\displaystyle \int _{\partial \Gamma }f(z)\mathrm {d} z=\sum _{i=1}^{n}n_{i}f(z)|_{\gamma _{i}(0)}^{z\,=\gamma _{i}(1)}=\sum _{i=1}^{n}n_{i}\left(f(\gamma _{i}(1))-f(\gamma _{i}(0)\right)}$

alakban is. Ha ${\displaystyle \Gamma }$ sima görbékből álló ciklus, akkor a tétel egyszerűsíthető:

${\displaystyle \int _{\Gamma }\mathrm {d} f(z)\mathrm {d} z=0}$,

mivel ekkor az ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}n_{i}\left(f(\gamma _{i}(1))-f(\gamma _{i}(0)\right)}$ összeg lenullázódik.

A homológiaelméletben

A lánc és a ciklus topológiai objektum is. Az algebrai topológiában p-láncok komplexusait vizsgálják, és ezekből homológiacsoportokat képeznek. Ezek topológiai invariánsok. Különösen fontos a szinguláris homológiacsoportok homológiaelmélete.

A homológiaelméletben a cikkben definiált lánc a szinguláris komplexus 1-lánca, ami egy bizonyos lánckomplexus. A ciklus szakaszban definiált ${\displaystyle \partial \colon C_{1}(X)\to \operatorname {Div} (X)}$ operátor a szinguláris komplexus peremoperátora, és a divizorok csoportja emiatt a nulla-láncok csoportjával izomorf. A ciklusok csoportja, mint az ${\displaystyle \partial }$ peremoperátor magja 1-ciklus a lánckomplexus értelmében.

A peremoperátor magva mellett tekinthetjük az operátor képét is, és ebből a két halmazból homológiacsoport konstruálható. Szinguláris komplexus esetén szinguláris homológiát kapunk. Ebben a kontextusban a nullhomológ lánc és a homológ lánc is absztraktabbá válik.

Jegyzetek

Források

• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb. Funktionentheorie, 8., Braunschweig: Vieweg (2003). ISBN 3-528-77247-6 
• Otto Forster: Riemannsche Flächen, Springer 1977, englisch Lectures on Riemann surfaces, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-90617-7, Kapitel 20

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Zyklus (Funktionentheorie) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.