0,999...

Luku 0,999... (merkitään myös ${\displaystyle 0{,}{\bar {9}}}$ tai ${\displaystyle 0{,}{\dot {9}}}$) on matematiikassa päättymätön jaksollinen desimaaliluku, joka on tasan yhtä suuri kuin luku 1.^[1] Poikkeavan merkintätavan vuoksi monen on ollut vaikea mieltää, että luku on sama kuin 1. Se seuraa kuitenkin melko suoraan reaalilukujen täydellisyysaksioomasta.^selvennä Mikäli luottaa laskusääntöjen toimivuuteen, yhtäläisyyden voi todistaa myös yksinkertaisella koulumatematiikalla. Samaten esimerkiksi lauseet 0,333...=⅓ ja 0,666...=⅔ pitävät paikkansa saman periaatteen mukaan. Kaikki päättymättömät ja jaksolliset desimaaliluvut voidaan esittää murtolukumuodossa.

Se, että luvulla 1 on useampi kuin yksi esitystapa, ei ole mitenkään erikoista. Erinäköisillä luvuilla voi olla sama arvo, esimerkiksi 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3 = ³/₁ ja niin edelleen.

Alla esitetyistä todistuksista kaksi ensimmäistä ovat maallikolle havainnollisimpia, mutta niissä oletetaan, että päättymättömiä desimaalilukuja voi laskea yhteen ja kertoa allekkain kuten päättyviä desimaalilukuja. Tämän täsmällinen todistaminen vaatisi suppenevien sarjojen tutkimista.

${\displaystyle {\begin{aligned}0{,}333\dots &={\frac {1}{3}}\qquad \vert \cdot 3\\0{,}999\dots &={\frac {3}{3}}\\0{,}999\dots &=1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0{,}999\ldots \qquad \vert \cdot 10\\10x&=9{,}999\ldots \qquad \vert -x\\10x-x&=9{,}999\ldots -0{,}999\ldots \\9x&=9\\x&=1\\0{,}999\dots &=1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}0{,}999\dots &=9\cdot 10^{-1}+9\cdot 10^{-2}+9\cdot 10^{-3}+\dots \\&=9\cdot (10^{-1}+10^{-2}+10^{-3}+\dots )\\&=9\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}\\&=9\cdot {\frac {\frac {1}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}=9\cdot {\frac {1}{9}}=1.\end{aligned}}}$

Tämä todistus tosin edellyttäisi geometrisen sarjan summakaavan todistamisen, mutta se voidaan tässä yhteydessä sivuuttaa.

${\displaystyle \displaystyle 0{,}999\dots =\lim _{n\to \infty }0{,}\underbrace {99\dots 9\,} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1.}$

Reaalilukujen täydellisyysaksiooman mukaan jokaisella ylhäältä rajoitetulla reaalilukujoukolla on reaalilukujen joukossa pienin yläraja eli supremum, joka on helppo osoittaa yksikäsitteiseksi. Tarkastelemalla joukkoa {0,9, 0,99, 0,999, ...} voidaan todeta, että se on ylhäältä rajoitettu, ja esimerkiksi antiteesillä osoittaa, että sen supremumeja ovat sekä 0,999... että 1. Supremumin yksikäsitteisyydestä seuraa tällöin että 0,999... = 1. Rationaalilukujen joukossa täydellisyysaksiooma ei päde, mutta koska 1 ja 0,999... ovat rationaalilukuja, yleistyy tulos automaattisesti myös rationaalilukujen joukkoon.

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta 0,999....

• Why does 0.9999… = 1 ? (englanniksi)
• Ask A Scientist: Repeating Decimals (englanniksi)
• Point nine recurring equals one (englanniksi)
• David Tall's research on mathematics cognition (englanniksi)