Pillaische Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine Pillaische Primzahl eine Primzahl ${\displaystyle p}$, für welche eine positive ganze Zahl ${\displaystyle n>0}$ existiert, sodass die Fakultät von ${\displaystyle n}$, also ${\displaystyle n!}$, um Eins kleiner ist als ein Vielfaches der Primzahl ${\displaystyle p}$. Die Primzahl selbst darf aber nicht um Eins größer sein als ein Vielfaches von ${\displaystyle n}$. Mit anderen Worten:

Es existiert ein ${\displaystyle k_{1}\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle n!+1=k_{1}\cdot p}$ und es muss ${\displaystyle p-1\not =k_{2}\cdot n}$ sein für alle ${\displaystyle k_{2}\in \mathbb {N} }$.

Mit Kongruenzen geschrieben bedeutet das:

Es muss ${\displaystyle n!+1\equiv 0{\pmod {p}}}$   und   ${\displaystyle p\not \equiv 1{\pmod {n}}}$ gelten.

Die dazugehörigen Zahlen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ nennt man EHS-Zahlen.^[1]

Die Pillai-Primzahlen wurden nach dem Mathematiker Subbayya Sivasankaranarayana Pillai benannt, der sich als erstes mit diesen Zahlen beschäftigte, indem er sich fragte, ob es wahr ist, dass jeder Primteiler ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ von ${\displaystyle n!+1}$ von der Form ${\displaystyle p=k\cdot n+1}$ ist.^[1]

• Die Zahl ${\displaystyle p=137}$ ist eine Pillai-Pimzahl, weil gilt:

Mit ${\displaystyle n=16}$ und ${\displaystyle k=152721094073}$ gilt: ${\displaystyle n!+1=16!+1=20922789888001=152721094073\cdot 137=k_{1}\cdot p}$ und es ist auch tatsächlich ${\displaystyle p-1=137-1=136\not =k_{2}\cdot 16=k_{2}\cdot n}$ für alle ${\displaystyle k_{2}\in \mathbb {N} }$.

• Die ersten Pillai-Primzahlen sind die folgenden:

23, 29, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 109, 137, 139, 149, 193, 227, 233, 239, 251, 257, 269, 271, 277, 293, 307, 311, 317, 359, 379, 383, 389, 397, 401, 419, 431, 449, 461, 463, 467, 479, 499, 503, 521, 557, 563, 569, 571, 577, 593, 599, 601, 607, 613, 619, 631, 641, 647, 661, 673, … (Folge A063980 in OEIS)

• Die ersten EHS-Zahlen sind die folgenden:

8, 9, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, …

Die kleinsten zu obiger Liste dazugehörenden ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ (es gibt mehrere) sind die folgenden:

61, 71, 83, 23, 59, 61, 661, 23, 71, 521, …

Beispiel: Den beiden obigen Listen kann man jeweils an der 7. Stelle die EHS-Zahl ${\displaystyle n=17}$ und die Primzahl ${\displaystyle p=661}$ entnehmen. Und tatsächlich ist ${\displaystyle n!+1=17!+1=355687428096001=538105034941\cdot 661=k_{1}\cdot p}$ und es ist auch tatsächlich ${\displaystyle p-1=661-1=660\not =k_{2}\cdot 17=k_{2}\cdot n}$ für alle ${\displaystyle k_{2}\in \mathbb {N} }$.

• Es gibt unendlich viele Pillai-Primzahlen.^[1]
• Es gibt unendlich viele EHS-Zahlen.^[1]

Die folgenden ungelösten Probleme werden in ^[1] aufgeworfen:

• Sei ${\displaystyle \pi (x)}$ die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle \pi ({\mathcal {P}},x)}$ die Anzahl der Pillai-Primzahlen kleiner oder gleich ${\displaystyle x}$.

Ist ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi ({\mathcal {P}},x)}{\pi (x)}}=1}$?

• Sei ${\displaystyle f(x)}$ die Anzahl der EHS-Zahlen kleiner oder gleich ${\displaystyle x}$.

Existiert ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}}$?

Wenn ja, gegen welche Wert geht dieser Limes?

Es ist ${\displaystyle {\frac {f(100)}{100}}\approx 5{,}5}$ und ${\displaystyle {\frac {f(200)}{200}}\approx 5{,}25}$ und ${\displaystyle {\frac {f(300)}{300}}\approx 5{,}7}$ und ${\displaystyle {\frac {f(400)}{400}}\approx 5{,}45}$ und ${\displaystyle {\frac {f(500)}{500}}\approx 4{,}98}$.

Es könnte sein, dass der Limes ${\displaystyle 0{,}5}$ beträgt, falls er existiert.

1. ↑ ^{a b c d e} G. E. Hardy, M. V. Subbarao: A Modified Problem of Pillai and Some Related Questions. The American Mathematical Monthly 109 (6), 2002, S. 554–559, abgerufen am 13. Juni 2018. 

• Pillai prime. In: PlanetMath. (englisch)
• Chris K. Caldwell: Pillai prime. The Prime Glossary, abgerufen am 13. Juni 2018 (englisch). 

• G. E. Hardy, M. V. Subbarao: A Modified Problem of Pillai and Some Related Questions. In: The American Mathematical Monthly. Band 109, Nr. 6, 2002, S. 554–559. 
• R. K. Guy: Unsolved Problems in Number Theory. 3. Auflage. Springer-Verlag, New York 2004, ISBN 0-387-20860-7.