Teorema de l'Huilier

En trigonometria esfèrica, el teorema de l'Huilier relaciona l'àrea d'un triangle esfèric amb la longitud dels seus costats; per tant, constitueix una generalització de la fórmula d'Heró a una geometria no euclidiana. El seu nom es deu al matemàtic suís Simon L'Huilier (1750-1840).

En un triangle esfèric (vegeu figura adjunta) dibuixat sobre l'esfera de raidi R, del qual els costats tenen dimensions angulars a, b i c, s'escriu el semiperímetre

${\displaystyle p={\frac {1}{2}}(a+b+c)\,}$.

El teorema de l'Huilier estipula que la superfície del triangle val

${\displaystyle S=4R^{2}\arctan \left\{{\sqrt {\tan \left({\frac {p}{2}}\right)\tan \left({\frac {p-a}{2}}\right)\tan \left({\frac {p-b}{2}}\right)\tan \left({\frac {p-c}{2}}\right)}}\right\}}$.

La fórmula d'Heró és el cas límit de la igualtat de damunt quan la curvatura de l'esfera es fa prou petita (el radi tendeix a infinit) i s'acosta a la geometria euclidiana: en efecte, quan a, b i c es fan petits respecte a 1 (R és gran respecte a BC, AC i AB) l'aproximació

${\displaystyle \tan x\approx \arctan x\approx x\,}$

es pot admetre i l'expressió anterior esdevé la fórmula d'Heró.

Vegeu també

• Trigonometria
• Triangle
• Resolució d'un triangle
• Fórmula d'Heró
• Trigonometria esfèrica

Bibliografia

• Teorema de l'Huilier en el lloc web Math World. (anglès)