Sigui
un espai topològic;
és un conjunt dens a
si i només si
, és a dir, la clausura del conjunt és tot l'espai.[1][2][3]
Es compleix que les següents proposicions per
són totes equivalents:
és dens a ![{\displaystyle X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
tancat ![{\displaystyle \Rightarrow B=X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b858e47717c7074fe864a160e004e3b0c630430)
![{\displaystyle \forall V\in {\mathcal {T}},A\cap V=\varnothing \Rightarrow V=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73542a58df982c504c5a1bf678d4d882ec44070)
Exemples
- Tot espai topològic és dens en si mateix.
i
són subconjunts densos de
. - Els polinomis són densos en el conjunt
de les funcions contínues definides en
, dotat de la topologia associada a la distància
.
Espai separable
Si
conté un dens numerable es diu que és un espai topològic separable. Exemples d'espais separables són
i
(l'espai de les funcions contínues que van de
a
).
Bibliografia
- Nicolas Bourbaki. General Topology, Chapters 1–4. Springer-Verlag, 1989. ISBN 3-540-64241-2. (anglès)
- Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr.. Counterexamples in Topology. Dover reprint of 1978. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995. ISBN 978-0-486-68735-3. (anglès)
Referències
- ↑ «dense set». [Consulta: 30 abril 2022].
- ↑ «Dense Set | Brilliant Math & Science Wiki» (en anglès americà). [Consulta: 30 abril 2022].
- ↑ «Dense Sets». Arxivat de l'original el 2022-04-14. [Consulta: 30 abril 2022].
Vegeu també