Circumferència d'Apol·loni

Circumferència d'Apol·loni

La circumferència d'Apol·loni és el lloc geomètric dels punts la raó de distàncies dels quals a dos punts donats és constant. A la figura, per a tots els punts P {\displaystyle P} del cercle, la raó A P B P = k {\displaystyle {\frac {AP}{BP}}=k} és constant i la circumferència és el cercle d'Apol·loni dels punts A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} i la raó k {\displaystyle k} .

El lloc geomètric és una circumferència

Que el lloc geomètric dels punts, la raó de distàncies dels quals a dos punts donats és constant, és una circumferència es pot demostrar fàcilment: Siguin A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} els dos punts, U {\displaystyle U} i V {\displaystyle V} dos punts sobre la recta A B {\displaystyle AB} que fan A U B U = A V B V = k {\displaystyle {\frac {AU}{BU}}={\frac {AV}{BV}}=k} i P {\displaystyle P} un punt fora de la recta A B {\displaystyle AB} que també fa A P B P = k {\displaystyle {\frac {AP}{BP}}=k} . Ara considerem els segments U P {\displaystyle UP} i V P {\displaystyle VP} i els segments A M {\displaystyle AM} i A N {\displaystyle AN} que els són respectivament paral·lels. Segons el teorema de Tales,

A U B U = M P B P , A V B V = N P B P {\displaystyle {\frac {AU}{BU}}={\frac {MP}{BP}}\,,\qquad {\frac {AV}{BV}}={\frac {NP}{BP}}}

cosa que, amb les hipòtesis inicials, implica

k = A U B U = A V B V = M P B P = N P B P = A P B P {\displaystyle k={\frac {AU}{BU}}={\frac {AV}{BV}}={\frac {MP}{BP}}={\frac {NP}{BP}}={\frac {AP}{BP}}}

i, per tant, M P = N P = A P {\displaystyle MP=NP=AP} i els triangles A P N {\displaystyle APN} i A P M {\displaystyle APM} són isòsceles. En conseqüència,

A N P ^ = N A P ^ , A M P ^ = M A P ^ {\displaystyle {\widehat {ANP}}={\widehat {NAP}}\,,\qquad {\widehat {AMP}}={\widehat {MAP}}}

però

A N P ^ = V P B ^ , N A P ^ = A P V ^ {\displaystyle {\widehat {ANP}}={\widehat {VPB}}\,,\qquad {\widehat {NAP}}={\widehat {APV}}}

i

A M P ^ = U P N ^ , M A P ^ = U P A ^ {\displaystyle {\widehat {AMP}}={\widehat {UPN}}\,,\qquad {\widehat {MAP}}={\widehat {UPA}}}

tot obtenint que

V P B ^ = A P V ^ {\displaystyle {\widehat {VPB}}={\widehat {APV}}} i U P N ^ = U P A ^ {\displaystyle {\widehat {UPN}}={\widehat {UPA}}}

En conseqüència, els segments U P {\displaystyle UP} i V P {\displaystyle VP} són perpendiculars i per tant, el punt P {\displaystyle P} és sobre el cercle de diàmetre U V {\displaystyle UV} , que és el cercle d'Apol·loni del cas.

Bibliografia

  • Akopyan, A. V.; Zaslavsky, A. A.. Geometry of Conics. 26. American Mathematical Society, 2007, p. 57–62. ISBN 978-0-8218-4323-9. .
  • Ogilvy, C. Stanley. Excursions in Geometry. Dover, 1990. ISBN 0-486-26530-7. .